三角代換法(Trigonometric Substitutions)(1)

三角代換法(Trigonometric Substitutions)

之前的章節中，我們有學到兩大有系統的方式(代換法、分部積分)
解決無法直接積分的問題，但是還是有許多積分問題我們無法解決
像是我們可以用代換法解出:$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$dx
但是如果分子的部分變成了$x^2$

變成$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}$dx
我們則無法使用代換法解出
這一篇文章中將會介紹，三角代換法，來解決某一部分的問題
在我碰到這類問題時，我大概把問題分成三類
我先不在這裡做明確的分類，我們先來看一道題
$\int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}$dx

這樣的問題我們無法用代換法解決
仔細研究這道題，可以發現分子的部分很像畢氏定理(圖一)

圖一

如果我們要將積分當中的根號去除，可以將它用三角函數作表示

更號其實自然而然就消失了
我們為了要將原來的dx替換掉
因此我們必須要從(圖一)當中列出x與三角函數的關係式
我選擇使用sinq＝$\frac{x}{3}$

經過移向x＝3sinq
將此式微分得到dx＝3cosqdq
算到這裡我們只差 $\sqrt{9-x^{2}}$還沒有代換成三角函數了
我們選擇斜邊(3)，與鄰邊($\sqrt{9-x^{2}}$)
可以列出關係式cosq＝ $\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}$
因此$\sqrt{9-x^{2}}$＝3cosq
到這裡積分式當中所有要代換的素材都準備好了

接下來把三角函數全部變回x來表示得到

這樣一來，原本無法解決的積分問題就迎刃而解了
(如果忘記反三角函數，會在其他篇文章中提到)