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三角代換法(Trigonometric Substitutions)(1)

三角代換法(Trigonometric Substitutions)

之前的章節中,我們有學到兩大有系統的方式(代換法、分部積分)
解決無法直接積分的問題,但是還是有許多積分問題我們無法解決
像是我們可以用代換法解出:$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$dx
但是如果分子的部分變成了$x^2 $
變成$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}$dx
我們則無法使用代換法解出
這一篇文章中將會介紹,三角代換法,來解決某一部分的問題
在我碰到這類問題時,我大概把問題分成三類
我先不在這裡做明確的分類,我們先來看一道題

$\int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}$dx
這樣的問題我們無法用代換法解決
仔細研究這道題,可以發現分子的部分很像畢氏定理(圖一)
圖一

如果我們要將積分當中的根號去除,可以將它用三角函數作表示
更號其實自然而然就消失了
我們為了要將原來的dx替換掉
因此我們必須要從(圖一)當中列出x與三角函數的關係式
我選擇使用sinq=$\frac{x}{3}$
經過移向x3sinq
將此式微分得到dx3cosqdq
算到這裡我們只差 $\sqrt{9-x^{2}}$還沒有代換成三角函數了
我們選擇斜邊(3),與鄰邊($\sqrt{9-x^{2}}$)
可以列出關係式cosq $\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}$
因此$\sqrt{9-x^{2}}$3cosq
到這裡積分式當中所有要代換的素材都準備好了

接下來把三角函數全部變回x來表示得到

這樣一來,原本無法解決的積分問題就迎刃而解了
(
如果忘記反三角函數,會在其他篇文章中提到)

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